本稿：Ｈ１６．８．２４追加
Ｈ17.２．２５ 5.3,54記述追加
Ｈ17.３．２９ 5.5記述追加
筆者は方程式計算による交点計算はきらいです。
なぜなら、最初に立てた式から計算ができるように変換していくのに時間がかかるからです。
方程式計算で座標値を計算しなければならない点が二つもあるとそれだけでめげてしまう。
そこで、なんとか簡易な方法がないか探していたら８／２４に見つかりましたのでここに記します。
交点計算がどこかの掲示板で話題になっており、筆者のホームページも紹介されておりました。
それに、刺激されてさらに考察を加えましたところいい方法がありましたので５．３以降に記します。
平成１５年の問題型の交点計算方法を５．５に記述します。
| 直線ＡＤと直線ＢＣの交点Ｐを求める。 直線ＢＣをｌ１とｌ2で内分する方法とする。 △ＡＰＢの面積をＳ１、△ＡＰＣの面積をＳ２とすると ｌ1：ｌ2 = S1：S2 一方で直線ＡＰに対して直角の線を引いてＢを通るＡＰに平行な線との交点をＢ’、Ｃを通るＡＰに平行な線との交点をＣ’とする。 これで、△ＡＰＢの面積＝△ＡＰＢ’であり、△ＡＰＣの面積＝△ＡＰＣ’の面積である。 なぜなら、Ｂ点及びＣ点を平行移動しているので等積変換しているだけであるから。 ｌ1 ：ｌ2 = S1：S2 = l1' ： l2' l1' = r1sinθ1 l2' = r2sinθ2 ∴ ｌ1：ｌ2 = r1sinθ1 ： r2sinθ2 |
 |
永田方式の計算方法ではr1,r2,θ1,θ2
が簡単に求められるので直線ＢＣを上記の比率で内分すればよい。内分方法も既に確立しているのでＰ点がすぐに求まる。
事例 平成14年の問題より
測量点座標一覧表 筆界点 Ｘ座標 Ｙ座標 Ａ 53.31 60.48 Ｂ 61.97 65.48 Ｃ 78.99 53.46 Ｄ 72.16 41.63 Ｅ 56.37 71.08 Ｇ 89.03 53.42 Ｈ 63.11 51.02 Ｉ 69.65 57.56
（）は下記で使用するメモリへの割り付けを示している
直線ＡＤと直線ＩＨの交点Ｈ’を求める（直線ＡＤを直線ＩＨにより内分する。）
①計算の準備として座標値を各メモリに入れる。
Ａ点をＡメモリへ
Ｄ点をＢメモリへ
Ｉ点をＣメモリへ
Ｈ点をＭメモリへ
②ｒ1,θ1,r2,θ2を求める
☆下記の計算では角度は度分秒に直していないが、直す必要がないからです。桁数は度分秒と思ってすべて使用する。
・ＨＩの方向角を求める Ｍ - Ｃ ＞r∠θ = = ∠-135 ・r1,方向角を求める Ａ - Ｃ ＞r∠θ = 16.5988・・・ r1 = ∠169.8680468 方向角１ ・r2,方向角を求める Ｂ - Ｃ ＞r∠θ = 16.1265・・・・ r2 = ∠-81.04584398 方向角２
・θ1,θ2を求める θ1 = 360 -135 - 169.8680468 = 55.1319532 θ1 θ2 = 135 - 81.04584398 = 53.95415602 θ2
③ 16.60×sin55.1319532 = 13.6198・・・・ r1sinθ1 16.13×sin53.95415602 = 13.04185・・・・ r2sinθ2
④ＡＤを内分する ( 13.042 × Ａ ＋ 13.620 × Ｂ ) ÷（13.042 + 13.620） = 62.9393・・ Ｈ’点のx座標 = 50.850・・i Ｈ’点のy座標
⑤座標値がＨＩ線上にあることを確認しよう。 ｓｈａｒｐのＥＬ５４６Ｒの場合(☆電卓には得意と不得意があるようなので使い分けてます) 3 1 stat1モード Ｈ,Iの座標値を入れる 63.11 51.02 n=1と表示 69.65 57.56 n=2と表示 確認する 62.94 62.94y'=50.85 ＨＩ線上のx座標62.94はy座標で50.85であることを示している。
本方法が方程式計算よりどれくらい早いかはこれからの使い込み次第です。
方程式計算は時間がかかりかつ短縮する方法はないが、この方法ではθ1とθ2の計算がややこしいが、図を書いて間違えないようにすれば確実に早くなると思う。
本稿：Ｈ１７．２．２５追加
①計算の準備として座標値を各メモリに入れる。
Ａ点をＡメモリへ
Ｄ点をＢメモリへ
Ｉ点をＣメモリへ
Ｈ点をＭメモリへ
②ｒ1sinθ1,r2sinθ2相当を求める --- 詳しくは5.4参照
・r1sinθ1相当を求める （ Ａ - Ｃ ） ÷ （ Ｍ - Ｃ ） = = -1.472477・・・i r1sinθ1相当 ↑ ＡＣがＭＣより左にあり方向角がマイナスなのでマイナスの値。使うのは符号を無視した値。 交点となる真中の線で割る ↓ ・r2sinθ2相当を求める （ Ｂ - Ｃ ） ÷ （ Ｍ - Ｃ ） = = 1.4097859・・・i r2sinθ2相当
③ＡＤを内分する
(1.4098 × Ａ＋1.4725 × Ｂ ） ÷（1.4098 + 1.4725） = 62.9400・・ Ｈ’点のx座標 
=50.8499・・ i Ｈ’点のy座標
④座標値がＨＩ線上にあることを確認しよう。
検算は5.2⑤のとおりに行う。
この方法なら1分以内に交点が求まるのではないか思う。
以前の方法に比べて、長い角度の数値をメモする必要がなくなった。
--- 解らなくても電卓操作ができればいいのです
| ABの方向角をθbとする。 |  |
||
| AＣの方向角をθcとする。 | |||
| この間の角度θは次のようにして求められることに気がつきました。 | |||
| （ Ｃ - Ａ ） ÷ （ Ｂ - Ａ ） ＞ｒ∠θ | |||
| この計算をすると、右の下の図のような変換をしたことになります。 |  |
|||
| つまり、点ＡＢＣをＡＢの線をｘ軸とするように全体の向きを変えたことになります。 | ||||
| ＯＢ’とＯＣ’の方向角は図のとおりだとして | ||||
| それでは、辺長はどうなるかというと、 | ||||
| ＯＢ’の辺長 ＝ １ | ||||
| ＯＣ’の辺長 ＝ ｒｃ／ｒｂ となります。 | ||||
| ※わかったこと | ||||||
| 角度の引き算 | 二つの線分を割る | |||||
| 角度の足し算 | 線分 × ｒ∠θ | |||||
| ｒは辺長の倍率、θは足し算する（回転させる）角度 θがプラスだと右回転、マイナスだと左回転 （これは4.2で直角線を求めるのに使いました。） |
||||||
| これを応用すると、右図のθ1,θ2が求められる。 |  |
|||
| θ1を求めるには | ||||
| （ Ｂ－Ａ ） ÷ （ Ｄ－Ａ ） ＞ｒ∠θ | ||||
| θ2を求めるには | ||||
| （ Ｄ－Ａ ） ÷ （ Ｃ－Ａ ） ＞ｒ∠θ | ||||
| これでもう角度を二つ計算して、メモして引き算することから開放された。 | ||||
| 線ＡＢ、線ＡＣを線ＡＤで割ると右図のように線ＯＤ’をｘ軸とするように回転した相似形ができる。 |  |
|||||
| ＯＢ’の計算 | ||||||
| （ Ｂ－Ａ ） ÷ （ Ｄ－Ａ ） | --- ① | |||||
| ＯＣ’の計算 | ||||||
| （ Ｃ－Ａ ） ÷ （ Ｄ－Ａ ） | --- ② | |||||
| 次にｒ1sinθ1,r2sinθ2はどうなるかというと | ||||||
| ｒ1sinθ1 ： r2sinθ2 | ||||||
| ＝ | ｒ1'sinθ1 ： r2'sinθ2 | 相似形だから | ||||
| ＝ | Ｂ’のｙ座標 ： Ｃ’のｙ座標 | |||||
| ＝ | ①のｙの値 ： ②のｙの値 | |||||
| これで交点計算に必要なｒ1sinθ1：r2sinθ2の比率数値がすぐに求まることになる。 | ||||||
本稿：Ｈ１７．３．２９追加
5.3にて改良した交点計算の方法を示しました。
その後に問題を解いていたら、ある辺に直交する線と他の辺の交点計算する問題がありました。
この問題への対応として次のとおりにするとよいので、以下に記します。
平成15年の本試験に出題されたものから交点計算のところだけをピックアップしました。
右の問題図と次の座表値から交点計算が必要なのはＱ点です。
ＡＢに直角なＰＱの交点のＱの座標を求める。
| 測量点座表値一覧 |  |
|||
| 筆界 | Ｘ座標 | Ｙ座標 | ||
| Ａ | 505.16 | 503.71 | ||
| Ｃ | 517.81 | 525.62 | ||
| Ｄ | 524.79 | 529.65 | ||
| Ｆ | 530.91 | 515.47 | ||
| Ｈ | 511.43 | 500.09 | ||
| Ｉ | 530.91 | 500.09 | ||
| １５年の問題では上記の点だけ与えられており交点計算するに必要なＧ点とＢ点他の点は求めてくる必要があるが、その求め方は本題でないので、省略してＢ点、Ｇ点及びＰ点を次に記載する。 | ||||
| 筆界 | Ｘ座標 | Ｙ座標 | ||
| Ｂ | 514.49 | 519.87 | ||
| Ｇ | 522.03 | 500.09 | ||
| Ｐ | 510.31 | 512.63 | ||
５．１～５．４で記述した方法は４点の座標がわかっている場合の計算方法です。
本問の場合は、ＰＱはＡＢに直交するとしか解っていないので交点計算する点のうちＰＧＦの３点しかわからない。線ＰＱ上のもう１点がほしい。
はい、みつかりました。Ｘ点です。
Ｘ点は線ＢＰに直交するＢ点と同じ長さを持つ点です。
Ｘ点の求め方は、4.2直角線を求める方法にて行なう。 その後は４点交点計算ができる。
①計算の準備として座標値を各メモリに入れる。(図中の括弧内に割りつけを表示)
P点をＡメモリへ
B点をＢメモリへ
G点をＣメモリへ
F点をＭメモリへ
| ②直角線上のＸ点の計算 | ||||||
| B - A | ＞ｒ∠θ= | |
= | ∠60 | --- 直角線ができたことを確認するのに使う | |
| ( B - A ) × 1∠-90° ＋ Ａ ＝ | Ｘ点の座標 | |||||
| ４．２②の式を辺長を変えない方法で左回りとして適用 | ||||||
| すかさず、不用となったＢメモリに入れる。 | ||||||
| メモリ割りつけは右のように変わる。 |  |
||||||
| B - A | ＞ｒ∠θ= | |
= | ∠-30 直角線ＯＫ | |||
| ③内分比率を求める | |||||||||||||||
| ・ＧＱの内分比率を求める | |||||||||||||||
| （ Ｃ - Ａ ） ÷ （ Ｂ - Ａ ） | = | |
= | -0.5980・・・i | ＧＱの内分比率 | ||||||||||
| ↑ | GＰがXAより左にあり方向角がマイナスなのでマイナスの値。使うのは符号を無視した値。 | ||||||||||||||
| 交点となる真中の線で割る | |||||||||||||||
| ↓ | |||||||||||||||
| ・ＱＦの内分比率を求める | |||||||||||||||
| （ Ｍ - Ａ ） ÷ （ Ｂ - Ａ ） | = | |
= | 1.5262・・・i | ＱＦの内分比率 | ||||||||||
| FGを内分する | |||||||||||||||
| （ 0.598 × M + 1.5262 × Ｃ ） ÷ （ 0.598 + 1.5262 ) ＝ | 524.5298・・ | Q点のx座標 | |||||||||||||
|
= | 504.419・・・i | Q点のy座標 | ||||||||||||
| ④座標値がＸＰ線上にあることを確認しよう。 | |||||||||||||||
| 今回の検算は角度で簡易にやります。 | |||||||||||||||
| Ans | - | A | ＞ｒ∠θ | = | |
= | ∠-30 | 間違いなく直角線上にあり | |||||||
平成１５年の試験は筆者も受験しました。この交点計算までの過程でへとへとになりました。ここまでにずいぶんと時間を使っていたのでした。交点計算は時間がかかるのでもうすっかり、やる気をなくしました。でも、もう大丈夫です。
